Bases Vectoriales y Subespacios de R^n

Definiciones Fundamentales

Subespacio Vectorial

Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice subespacio vectorial si:

  1. El vector cero pertenece a W
  2. W es cerrado bajo la suma vectorial
  3. W es cerrado bajo la multiplicación por escalares

Base de un Subespacio

Una base de un subespacio vectorial W es un conjunto de vectores B = {v₁, …, vₘ} que cumple:

  1. B genera W (cualquier vector de W se puede escribir como combinación lineal de los vectores de B)
  2. B es linealmente independiente

Dimensión

La dimensión de un subespacio vectorial es el número de vectores en cualquiera de sus bases.

Ejemplos por Espacios

En el espacio R

En R solo existen dos tipos de subespacios:

  1. Dimensión 0: El subespacio trivial {0}
  • Base: ∅ (conjunto vacío)
  • Este subespacio solo contiene al vector cero
  1. Dimensión 1: Todo R
  • Base: {1}
  • Este subespacio contiene todos los números reales

En el espacio R²

En R² existen tres tipos de subespacios:

  1. Dimensión 0: El subespacio trivial {[math]\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}[/math]}
  • Base: ∅
  1. Dimensión 1: Las rectas que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio genera el vector [math]\begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}[/math]? Solución: Este vector genera una recta que pasa por el origen. Para confirmar la dimensión, el vector ya está en REF y es no nulo, por lo que la dimensión es 1.
  • Base: {[math]\begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}[/math]}
  1. Dimensión 2: Todo R²
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores [math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}[/math] y [math]\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: Formamos la matriz y reducimos a REF:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Ya está en REF y tiene 2 pivotes, por lo que la dimensión es 2.

Base: {[math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}[/math], [math]\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}[/math]}

En el espacio R³

En R³ existen cuatro tipos de subespacios:

  1. Dimensión 0: El subespacio trivial {[math]\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}[/math]}
  • Base: ∅
  1. Dimensión 1: Las rectas que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio genera el vector [math]\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: El vector ya está en REF y es no nulo, por lo que la dimensión es 1.
  • Base: {[math]\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}[/math]}
  1. Dimensión 2: Los planos que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores [math]\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}[/math] y [math]\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: Formamos la matriz y reducimos a REF:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Tiene 2 pivotes, por lo que la dimensión es 2.

Base: {[math]\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}[/math], [math]\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}[/math]}

  1. Dimensión 3: Todo R³
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores estándar?

[math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}[/math]

Solución: La matriz ya está en REF y tiene 3 pivotes:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Por lo tanto, la dimensión es 3.

Base: Los vectores estándar.

En el espacio R⁴

En R⁴ existen cinco tipos de subespacios:

  1. Dimensión 0: El subespacio trivial {[math]\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}[/math]}
  • Base: ∅
  1. Dimensión 1: Las rectas que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio genera el vector [math]\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: El vector ya está en REF y es no nulo, por lo que la dimensión es 1.
  • Base: {[math]\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}[/math]}
  1. Dimensión 2: Los planos que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores [math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}[/math] y [math]\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: La matriz ya está en REF:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Tiene 2 pivotes, por lo que la dimensión es 2.

Base: Los vectores dados.

  1. Dimensión 3: Los espacios tridimensionales que pasan por el origen
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores:
    [math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}[/math]? Solución: Reduciendo a REF:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Tiene 3 pivotes, por lo que la dimensión es 3.

Base: Los tres primeros vectores dados.

  1. Dimensión 4: Todo R⁴
  • Ejemplo: ¿Qué subespacio generan los vectores estándar?

[math]\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}[/math]

Solución: La matriz ya está en REF:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Tiene 4 pivotes, por lo que la dimensión es 4.

Base: Los vectores estándar.